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<!DOCTYPE html>

<title>Inclusion (mathématiques)</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Inclusion (mathématiques)</h1>

</header>

</div>

En <a href="Math%C3%A9matiques" title="Mathématiques">mathématiques</a>, l’inclusion est une <a href="Relation_d'ordre" title="Relation d'ordre">relation d'ordre</a> entre <a href="Ensemble" title="Ensemble">ensembles</a>. On dit qu'un ensemble A est inclus dans un ensemble B si tous les <a href="%C3%89l%C3%A9ment_(math%C3%A9matiques)" class="mw-redirect" title="Élément (mathématiques)">éléments</a> de A sont aussi éléments de B. On dit dans ce cas que A est un sous-ensemble ou une partie de B, ou encore que B est sur-ensemble de A.

Cette relation n'est pas symétrique a priori, car il peut y avoir des éléments du deuxième ensemble qui n'appartiennent pas au premier. Plus précisément, il y a inclusion dans les deux sens entre deux ensembles si et seulement si ces deux ensembles sont <a href="Identit%C3%A9_(math%C3%A9matiques)" title="Identité (mathématiques)">égaux</a>.

L'inclusion se note majoritairement<a href="#cite_note-1">[1]</a> avec le symbole « ⊂ » introduit par <a href="Ernst_Schr%C3%B6der" title="Ernst Schröder">Schröder</a>, même si d'autres auteurs réservent ce symbole à l'inclusion <a href="Strict" class="mw-redirect" title="Strict">stricte</a> (c'est-à-dire excluant le cas d'égalité), suivant ainsi la norme <a href="Organisation_internationale_de_normalisation" title="Organisation internationale de normalisation">ISO</a><a href="#cite_note-2">[2]</a>. L'inclusion au sens large peut alors être notée avec le symbole « ⊆ » de <a href="Felix_Hausdorff" title="Felix Hausdorff">Felix Hausdorff</a>, par analogie avec les symboles de comparaison numériques. Pour lever l'ambiguïté, l'inclusion stricte peut aussi être notée « ⊊ », à ne pas confondre avec la <a href="N%C3%A9gation_logique" title="Négation logique">négation</a> de l'inclusion, qui se note « ⊄ » ou « ⊈ ». Tous ces symboles peuvent être réfléchis pour représenter les relations <a href="R%C3%A9ciproque" class="mw-redirect" title="Réciproque">réciproques</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Définitions">Définitions</h2></div>

Soient deux ensembles A et B. Par définition, A est inclus (au sens large) dans B si tout élément de A est un élément de B, A est inclus (au sens strict) dans B si de plus A ≠ B.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Terminologie_et_notation">Terminologie et notation</h3></div>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Inclusion_au_sens_large">Inclusion au sens large</h4></div>

En notation symbolique, l’inclusion au sens large est notée ⊆ ou ⊂ ; par définition (« ⇒ » désigne l'<a href="Implication_(logique)" title="Implication (logique)">implication logique</a>) :

<dl><dd>A ⊆ B signifie ∀ x (x ∈ A ⇒ x ∈ B).</dd></dl>

On peut aussi définir l'inclusion au sens large à partir de l'intersection ou de la réunion :

<ul><li>A ⊆ B si et seulement si A ∩ B = A ;</li>

<li>A ⊆ B si et seulement si A ∪ B = B.</li></ul>

La relation A ⊆ B peut se lire :

<ul><li>« <var>A</var> est inclus dans <var>B</var> »,</li>

<li>« <var>A</var> est une partie de <var>B</var> »,</li>

<li>« <var>A</var> est un sous-ensemble de <var>B</var> »<a href="#cite_note-3">[3]</a>.</li></ul>

et peut aussi s'écrire B ⊇ A, qui se lit :

<ul><li>« <var>B</var> inclut <var>A</var> »,</li></ul>

<ul><li>« <var>B</var> est une extension de <var>A</var> »,[<abbr class="abbr" title="référence">réf.</abbr> souhaitée]</li></ul>

<ul><li>« <var>B</var> est un sur-ensemble de <var>A</var> ».</li></ul>

Sont également utilisés « <var>B</var> contient <var>A</var> » et « <var>A</var> est contenu dans <var>B</var> », qui peuvent par ailleurs signifier <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\in B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\in B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0fab3adc147d678e0f4ed736ac12cd306a691b91.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.348ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A\in B}" loading="lazy">.

Certains auteurs, tels que <a href="Paul_Halmos" title="Paul Halmos">Paul Halmos</a><a href="#cite_note-4">[4]</a> et <a href="George_Boolos" title="George Boolos">George Boolos</a><a href="#cite_note-5">[5]</a>, recommandent d'utiliser systématiquement inclut» et jamais « <var>B</var> contient <var>A</var> » pour traduire B ⊇ A, afin d'éviter toute confusion avec l'<a href="Appartenance_(math%C3%A9matiques)" title="Appartenance (mathématiques)">appartenance</a>.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Inclusion_au_sens_strict">Inclusion au sens strict</h4></div>

L'inclusion au sens strict est la relation qui s'établit entre deux ensembles lorsque le premier inclut le second et non l'inverse.

Elle est notée ⊂ qui est le symbole de l'inclusion stricte selon la norme <a href="ISO_31-11" title="ISO 31-11">ISO 31-11</a><a href="#cite_note-6">[6]</a> de l'<a href="Organisation_internationale_de_normalisation" title="Organisation internationale de normalisation">Organisation internationale de normalisation</a> (qui mentionne toutefois l'autre usage), ou ⊊, en particulier quand l'inclusion au sens large est notée ⊂.

L'usage du symbole ⊂ pour l'inclusion stricte s'explique par l'analogie avec le symbole <<a href="#cite_note-7">[7]</a>.

<dl><dd>A ⊊ B signifie A ⊆ B et A≠B.</dd></dl>

Variantes d'écriture : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \subsetneq }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \subsetneq }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ccda11a9c5eb10088602771f7c0f05ffea7f41c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.808ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \subsetneq }" loading="lazy"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varsubsetneq \subsetneqq \varsubsetneqq }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varsubsetneq \subsetneqq \varsubsetneqq }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c33d1b7f9aec66f0a4e99a4dcc6b9f2c21591f03.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:6.973ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \varsubsetneq \subsetneqq \varsubsetneqq }" loading="lazy">.

<ul><li>« <var>A</var> est strictement inclus dans <var>B</var> »</li></ul>

<ul><li>« <var>A</var> est une partie propre de <var>B</var> »,</li></ul>

<ul><li>« <var>A</var> est un sous-ensemble propre de <var>B</var> »<a href="#cite_note-8">[8]</a></li></ul>

et peut aussi s'écrire B ⊋ A, qui se lit :

<ul><li>« <var>B</var> inclut strictement <var>A</var> »,</li></ul>

<ul><li>« <var>B</var> est une extension propre de <var>A</var> »,[<abbr class="abbr" title="référence">réf.</abbr> souhaitée]</li></ul>

<ul><li>« <var>B</var> est un sur-ensemble propre de <var>A</var> ».</li></ul>

On dit que <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> est un sous-ensemble non trivial d'un ensemble <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> quand <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\subset B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\subset B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/010e98bb4c817357e3ef7e8fa7fbe2385b2aec6e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.606ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A\subset B}" loading="lazy"> mais <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\neq \varnothing }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\neq \varnothing }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b0c84bfaec7b2091189e67d3e979e4474a35640e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.65ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle A\neq \varnothing }" loading="lazy"> et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\neq B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\neq B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c78362703472ea51edc4614b6b7a7bda8e83131c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.606ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle A\neq B}" loading="lazy"><a href="#cite_note-9">[9]</a>.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Exemple_d'inclusion_au_sens_strict">Exemple d'inclusion au sens strict</h4></div>

<div class="gallerytext">A est un sous-ensemble strict de B</div>

</li>

<div class="gallerytext">C est un sous-ensemble mais pas un sous-ensemble strict de B.</div>

</li>

</ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Définition_en_compréhension">Définition en compréhension</h3></div>

Une propriété des éléments d'un ensemble définit un sous-ensemble de celui-ci. Ainsi, en reprenant l'un des exemples ci-dessus, la propriété « être pair » définit, sur l'ensemble des entiers naturels N, l'ensemble 2N des entiers pairs. On dit que l'ensemble a été défini par <a href="Sch%C3%A9ma_d'axiomes_de_compr%C3%A9hension" title="Schéma d'axiomes de compréhension">compréhension</a> et on note :

Toute propriété (quand on l'exprime dans un langage précis on parle de prédicat de ce langage) définit par compréhension un sous-ensemble d'un ensemble donné.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ensemble_des_parties">Ensemble des parties</h3></div>

L'ensemble de tous les sous-ensembles d'un ensemble E donné est appelé <a href="Ensemble_des_parties_d'un_ensemble" title="Ensemble des parties d'un ensemble">ensemble des parties</a> de E, et noté habituellement « <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {P}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {P}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/10d6ec962de5797ba4f161c40e66dca74ae95cc6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.704ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {P}}}" loading="lazy">(E) », ou (écriture gothique) « <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ _{\mathfrak {P}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ _{\mathfrak {P}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/21e1c12489184ac51fa6474589548e8d12c73886.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.174ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \ _{\mathfrak {P}}}" loading="lazy">(E) », voire simplement « P(E) » (lire dans tous les cas « P de E »).

On a ainsi :

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {P}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/10d6ec962de5797ba4f161c40e66dca74ae95cc6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.704ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {P}}}" loading="lazy">(E)   si et seulement si   X ⊆ E.</dd></dl>

Par exemple si A = { a, b }, alors <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {P}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {P}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/10d6ec962de5797ba4f161c40e66dca74ae95cc6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.704ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {P}}}" loading="lazy">(A) = { Ø, { a }, { b }, A }.

Dans ce cas on aura par exemple a ∈ A, donc {a} ⊆ A, c'est-à-dire {a} ∈ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {P}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {P}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/10d6ec962de5797ba4f161c40e66dca74ae95cc6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.704ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {P}}}" loading="lazy">(A).

Les propriétés de l'ensemble des parties, en particulier celles ayant trait à la cardinalité, sont détaillées dans l'article <a href="Ensemble_des_parties_d'un_ensemble" title="Ensemble des parties d'un ensemble">ensemble des parties d'un ensemble</a>. Pour le cas fini, qui relève de la <a href="Combinatoire" title="Combinatoire">combinatoire</a>, voir aussi l'article <a href="Combinaison_(math%C3%A9matiques)" title="Combinaison (mathématiques)">combinaison</a>.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Fonction_caractéristique">Fonction caractéristique</h3></div>

Un sous-ensemble A d'un ensemble E peut être défini par sa <a href="Fonction_caract%C3%A9ristique_(math%C3%A9matiques)" class="mw-redirect" title="Fonction caractéristique (mathématiques)">fonction caractéristique</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \chi _{A}:E\rightarrow \{0,1\}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \chi _{A}:E\rightarrow \{0,1\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b6d9c0b3783c14c0de2b4fb6e377d6a4bc3b6684.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.931ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \chi _{A}:E\rightarrow \{0,1\}}" loading="lazy">, définie par : χA(x) vaut 1 si x est élément de A, et 0 sinon :

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall x\in E\quad [\chi _{A}(x)=1\Leftrightarrow x\in A]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bd97608269ec4b4366643f2522ba89092ab67009.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:30.702ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall x\in E\quad [\chi _{A}(x)=1\Leftrightarrow x\in A]}" loading="lazy"></dd></dl>

et donc (χA(x) étant à valeurs dans {0, 1})

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall x\in E\quad [\chi _{A}(x)=0\Leftrightarrow x\not \in A]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4949ef2e64fc877c2f6b212c7b5f75188f1d03f4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:30.702ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall x\in E\quad [\chi _{A}(x)=0\Leftrightarrow x\not \in A]}" loading="lazy">.</dd></dl>

Réciproquement toute fonction χ de E dans {0, 1} définit un sous-ensemble de E qui est {x ∈ E | χ(x) = 1}. On a donc une correspondance <a href="Bijection" title="Bijection">bijective</a> entre les sous-ensembles de E et les fonctions de E dans {0, 1}, c'est-à-dire entre <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {P}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {P}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/10d6ec962de5797ba4f161c40e66dca74ae95cc6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.704ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {P}}}" loading="lazy">(E) et {0, 1}E.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Définition_en_théorie_des_types">Définition en théorie des types</h3></div>

En <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {Q} _{o}}">

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {Q} _{o}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/28f6ea971cbfbab87eed58c152073cbfbb1aa8a3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.838ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {Q} _{o}}" loading="lazy">, une formulation<a href="#cite_note-Andrews-10">[10]</a> de la <a href="Th%C3%A9orie_des_types" title="Théorie des types">théorie des types</a>, l'inclusion est représentée par le terme <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \subseteq _{o(o\alpha )(o\alpha )}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \subseteq _{o(o\alpha )(o\alpha )}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ccca82f9c7fe6501a7b9d6089e6d68b4de14a347.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:9.095ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \subseteq _{o(o\alpha )(o\alpha )}}" loading="lazy">défini comme l'abréviation du terme <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda x_{o\alpha }\lambda y_{o\alpha }\forall z_{\alpha }~(xz\supset yz)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda x_{o\alpha }\lambda y_{o\alpha }\forall z_{\alpha }~(xz\supset yz)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ccedc842500ab6a38a0fab6de3a7cb31a4b3459f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.15ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \lambda x_{o\alpha }\lambda y_{o\alpha }\forall z_{\alpha }~(xz\supset yz)}" loading="lazy">

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Exemples">Exemples</h2></div>

Par exemple l'ensemble des <a href="Entier_naturel" title="Entier naturel">entiers naturels</a> non nuls ℕ* est inclus dans l'ensemble des entiers naturels ℕ, de même que l'ensemble des entiers naturels pairs 2ℕ, mais 2ℕ n'est pas inclus dans ℕ* car 0 ∈ 2ℕ, mais 0 ∉ ℕ* :

On peut remarquer que, comme il existe des entiers naturels non nuls qui ne sont pas pairs, 1 par exemple, ℕ* n'est pas non plus inclus dans 2ℕ : ℕ* ⊄ 2ℕ. On dit alors que ces deux ensembles ne sont pas comparables pour l'inclusion.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Exemple_de_sous-ensemble">Exemple de sous-ensemble</h3></div>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Propriétés_de_l'inclusion">Propriétés de l'inclusion</h2></div>

L'<a href="Ensemble_vide" title="Ensemble vide">ensemble vide</a> est l'ensemble qui n'a pas d'éléments, et on le note Ø.

Proposition (ensemble vide). L'<a href="Ensemble_vide" title="Ensemble vide">ensemble vide</a> est sous-ensemble de tout ensemble, c'est-à-dire que pour tout ensemble A :

Démonstration :

nous devons démontrer que Ø est un sous-ensemble de <var>A</var>, c'est-à-dire

que tous les éléments de Ø sont des éléments de <var>A</var>, mais il n’existe pas d’éléments de Ø.

Pour qui a un peu la pratique des mathématiques, l'inférence « Ø n’a pas d’éléments, donc tous les éléments de Ø sont des éléments de <var>A</var> » est évidente, mais cela peut être dérangeant pour le débutant. Il peut être utile de raisonner différemment (<a href="Raisonnement_par_l'absurde" title="Raisonnement par l'absurde">par l’absurde</a>).

Si nous avions supposé que Ø n'était pas un sous-ensemble de <var>A</var>, nous aurions pu trouver un élément de Ø n’appartenant pas à <var>A</var>.

Comme il n’existe pas d’élément de Ø, c’est impossible et donc Ø est par conséquent un sous-ensemble de <var>A</var>.

Nous avons aussi la proposition suivante.

Proposition (réflexivité). Tout ensemble est inclus dans lui-même, c'est-à-dire que pour tout ensemble A :

On dit que l'inclusion est une <a href="Relation_r%C3%A9flexive" title="Relation réflexive">relation réflexive</a>.

Pour le prouver, il suffit de reprendre la définition de l’inclusion.

Une autre propriété qui elle aussi repose seulement sur la définition de l'inclusion est la <a href="Transitivit%C3%A9_(math%C3%A9matiques)" class="mw-redirect" title="Transitivité (mathématiques)">transitivité</a>.

Proposition (transitivité).

Pour trois ensembles quelconques <var>A</var>, <var>B</var> et <var>C</var>, si <var>A</var> est un sous-ensemble de <var>B</var> et <var>B</var> est un sous-ensemble de <var>C</var>, alors <var>A</var> est un sous-ensemble de <var>C</var>, c'est-à-dire que :

de même

Contrairement aux propositions précédentes, qui se démontrent de façon purement logique, en revenant aux définitions, la propriété d'<a href="Relation_binaire#Relation_antisymétrique" title="Relation binaire">antisymétrie</a> repose sur la notion même d'ensemble : c'est en fait la simple traduction d'une propriété fondamentale des ensembles, dite propriété d'<a href="Axiome_d'extensionnalit%C3%A9" title="Axiome d'extensionnalité">extensionnalité</a>, à savoir que deux ensembles sont égaux si et seulement s'ils ont les mêmes éléments.

Proposition (antisymétrie). Deux ensembles <var>A</var> et <var>B</var> sont égaux si et seulement si <var>A</var> est un sous-ensemble de <var>B</var> et <var>B</var> est un sous-ensemble de <var>A</var>, c'est-à-dire :

<dl><dd>A = B   si et seulement si   (A ⊆ B et B ⊆ A)</dd></dl>

Quel que soit l’ensemble E, l’inclusion munit donc son <a href="Ensemble_des_parties_d'un_ensemble" title="Ensemble des parties d'un ensemble">ensemble des parties</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {P}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {P}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/10d6ec962de5797ba4f161c40e66dca74ae95cc6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.704ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {P}}}" loading="lazy">(E) d’une <a href="Relation_d'ordre" title="Relation d'ordre">relation d'ordre</a>, qui n'est plus un <a href="Ordre_total" title="Ordre total">ordre total</a> dès que E possède au moins deux éléments. En effet si a et b sont deux éléments distincts de E, les <a href="Singleton_(math%C3%A9matiques)" title="Singleton (mathématiques)">singletons</a> {a} et {b} sont des parties de E qui ne se comparent pas pour l'inclusion. Cet ordre a toujours un <a href="Plus_petit_%C3%A9l%C3%A9ment" class="mw-redirect" title="Plus petit élément">plus petit élément</a>, Ø l'ensemble vide, et un <a href="Plus_grand_%C3%A9l%C3%A9ment" class="mw-redirect" title="Plus grand élément">plus grand élément</a>, l'ensemble E.

Cet ordre n'est donc pas total en général mais a d'autres propriétés remarquables.

Proposition (intersection finie).

Pour deux ensembles A et B quelconques, on peut définir l'<a href="Intersection_(math%C3%A9matiques)" title="Intersection (mathématiques)">intersection</a> de A et B, qui est l'ensemble des éléments communs à A et à B, noté A ∩ B. Cet ensemble est le seul à être inclus dans A et dans B, et à inclure tout ensemble inclus à la fois dans A et dans B :

<dd>si C ⊆ A et C ⊆ B, alors C ⊆ A ∩ B.</dd></dl>

On dit que l'ensemble A ∩ B est la <a href="Borne_inf%C3%A9rieure" class="mw-redirect" title="Borne inférieure">borne inférieure</a> de A et B pour l'inclusion.

On a une propriété analogue (on dit <a href="Treillis_(ensemble_ordonn%C3%A9)#Dualité" title="Treillis (ensemble ordonné)">duale</a>, en un sens précis) pour la réunion.

Proposition (réunion finie).

Pour deux ensembles A et B quelconques, on peut définir la <a href="R%C3%A9union_(math%C3%A9matiques)" class="mw-redirect" title="Réunion (mathématiques)">réunion</a> de A et B, qui est l'ensemble des éléments appartenant à A ou à B, noté A ∪ B. Cet ensemble est le seul à inclure à la fois A et B, et à être inclus dans tout ensemble incluant à la fois A et B :

<dd>si A ⊆ C et B ⊆ C, alors A ∪ B ⊆ C.</dd></dl>

On dit que A ∪ B est la <a href="Borne_sup%C3%A9rieure" class="mw-redirect" title="Borne supérieure">borne supérieure</a> de A et B pour l'inclusion.

Pour tout ensemble E l'inclusion munit donc <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {P}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {P}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/10d6ec962de5797ba4f161c40e66dca74ae95cc6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.704ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {P}}}" loading="lazy">(E) d'une structure d'ordre que l'on appelle un <a href="Treillis_(math%C3%A9matiques)" class="mw-redirect" title="Treillis (mathématiques)">treillis</a>. Du fait des propriétés de <a href="Distributivit%C3%A9" title="Distributivité">distributivité</a> de la <a href="R%C3%A9union_(math%C3%A9matiques)" class="mw-redirect" title="Réunion (mathématiques)">réunion</a> vis-à-vis de l'<a href="Intersection_(math%C3%A9matiques)" title="Intersection (mathématiques)">intersection</a>, et de l'intersection vis-à-vis de la réunion, ce treillis est dit <a href="Treillis_(math%C3%A9matiques)#Glossaire_des_treillis" class="mw-redirect" title="Treillis (mathématiques)">distributif</a>.

Des propriétés des intersections et réunions binaires, on pourrait déduire facilement un résultat analogue pour les intersections et réunions finies, mais on a un résultat plus fort :

Proposition (intersection et réunion quelconques).

Pour une <a href="Famille_(math%C3%A9matiques)" title="Famille (mathématiques)">famille</a> quelconque d'ensembles (Ai)i ∈ I, on peut définir l'intersection des éléments de la famille, ∩i ∈ IAi, et leur réunion ∪i ∈ IAi. L'intersection des Ai est le plus grand des ensembles inclus dans chacun des Ai, la réunion des Ai est le plus petit des ensembles incluant tous les Ai.

Le treillis de l'inclusion sur <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {P}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {P}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/10d6ec962de5797ba4f161c40e66dca74ae95cc6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.704ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {P}}}" loading="lazy">(E) est dit <a href="Treillis_(math%C3%A9matiques)" class="mw-redirect" title="Treillis (mathématiques)">complet</a>. Il s'agit même d'une <a href="Alg%C3%A8bre_de_Boole_(structure)" title="Algèbre de Boole (structure)">algèbre de Boole</a>, puisque tout sous-ensemble de E a un complémentaire dans E.

Proposition (complémentaire). Soit E un ensemble. On appellera <a href="Compl%C3%A9mentaire_(th%C3%A9orie_des_ensembles)" title="Complémentaire (théorie des ensembles)">complémentaire</a> d'un sous-ensemble A de E, le sous-ensemble de E constitué des éléments de E qui ne sont pas dans A, et on le notera <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \complement _{E}A}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \complement _{E}A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/13d8172da3ddb201b95ec136d7611ea542d880da.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.393ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \complement _{E}A}" loading="lazy">. On a :

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\cap \complement _{E}A=\emptyset }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f7da680fce138b1c4343aa9e068e26478a86d011.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.98ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A\cap \complement _{E}A=\emptyset }" loading="lazy">   et   <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\cup \complement _{E}A=E}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\cup \complement _{E}A=E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5265c67835666885ebba14f0585c409308abc0e5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.593ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A\cup \complement _{E}A=E}" loading="lazy"></dd></dl>

On montre alors que :

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\subseteq B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b09068bd2f7ba899aeb883ebe670b2ad07b0c851.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.606ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle A\subseteq B}" loading="lazy">   si et seulement si   <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \complement _{E}B\subseteq \complement _{E}A}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \complement _{E}B\subseteq \complement _{E}A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f2ec3428504a73b6a12e9cfc404f5792e86aba3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.906ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \complement _{E}B\subseteq \complement _{E}A}" loading="lazy">.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Théorie_axiomatique_des_ensembles">Théorie axiomatique des ensembles</h2></div>

En <a href="Th%C3%A9orie_des_ensembles" title="Théorie des ensembles">théorie des ensembles</a>, dans la théorie des ensembles de Zermelo ou de <a href="ZFC" class="mw-redirect" title="ZFC">Zermelo-Fraenkel</a>, l'inclusion n'est pas une notion primitive : elle est définie à partir de l'appartenance comme indiquée au début de l'article. Comme déjà mentionné, des propriétés de l'inclusion, comme la réflexivité et la transitivité, sont des conséquences purement logique de cette définition et l'antisymétrie de l'inclusion est exactement l'<a href="Axiome_d'extensionnalit%C3%A9" title="Axiome d'extensionnalité">axiome d'extensionnalité</a>.

L'existence d'un plus petit élément (ensemble vide) se montre par compréhension (voir <a href="Axiome_de_l'ensemble_vide" title="Axiome de l'ensemble vide">axiome de l'ensemble vide</a>). Il n'y a pas de plus grand élément pour l'inclusion dans l'univers de la théorie des ensembles : s'il existait un ensemble incluant tous les ensembles on pourrait, en utilisant le <a href="Sch%C3%A9ma_d'axiomes_de_compr%C3%A9hension" title="Schéma d'axiomes de compréhension">schéma d'axiomes de compréhension</a>, dériver le <a href="Paradoxe_de_Russell" title="Paradoxe de Russell">paradoxe de Russell</a>.

L'existence d'une <a href="Borne_inf%C3%A9rieure" class="mw-redirect" title="Borne inférieure">borne inférieure</a> (intersection) se démontre par <a href="Sch%C3%A9ma_d'axiomes_de_compr%C3%A9hension" title="Schéma d'axiomes de compréhension">compréhension</a>. L'existence d'une borne supérieure (réunion) dans le cas d'un ensemble d'ensembles, nécessite un axiome spécifique, l'<a href="Axiome_de_la_r%C3%A9union" title="Axiome de la réunion">axiome de la réunion</a>. À chaque fois l'<a href="Axiome_d'extensionnalit%C3%A9" title="Axiome d'extensionnalité">axiome d'extensionnalité</a> est utile pour démontrer l'unicité.

L’existence de l'ensemble des parties d'un ensemble nécessite également un axiome spécifique, l’<a href="Axiome_de_l'ensemble_des_parties" title="Axiome de l'ensemble des parties">axiome de l'ensemble des parties</a>, et son unicité est encore une fois assurée par l’<a href="Axiome_d'extensionnalit%C3%A9" title="Axiome d'extensionnalité">axiome d'extensionnalité</a>.

L'appartenance et l'inclusion sont en général bien distinctes dans les mathématiques ordinaires. En théorie des ensembles une notion très utile est celle d'<a href="Ensemble_transitif" title="Ensemble transitif">ensemble transitif</a> : un ensemble dont tous les éléments sont aussi des sous-ensembles ! En particulier Les <a href="Nombre_ordinal" title="Nombre ordinal">ordinaux</a> sont des ensembles transitifs. La restriction de l'inclusion à un ordinal définit un <a href="Bon_ordre" class="mw-redirect" title="Bon ordre">bon ordre</a> (et donc un ordre total), l'ordre strict correspondant est l'appartenance.

Si on introduit la notion de <a href="Classe_(math%C3%A9matiques)" title="Classe (mathématiques)">classe</a> (que la notion de classe soit ou non formalisée dans la théorie, voir l'article correspondant), comme celle-ci correspond à la notion de prédicat, on peut définir de façon tout à fait analogue l'inclusion entre classes. La classe de tous les ensembles est maximale pour l'inclusion. On peut définir l'intersection et la réunion de deux classes, et donc d'un nombre fini de classes par <a href="Conjonction_logique" title="Conjonction logique">conjonction</a> et <a href="Disjonction_logique" title="Disjonction logique">disjonction</a>, le passage au complémentaire, par négation. Le complémentaire d'un ensemble dans une <a href="Classe_(math%C3%A9matiques)" title="Classe (mathématiques)">classe propre</a>, en particulier dans la classe de tous les ensembles, ne peut cependant être un ensemble (par réunion). Il n'est pas question par contre non plus d'ensemble, ou même de classe, des parties d'une classe propre, celles-ci pouvant être elles-mêmes des classes propres.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Voir_aussi">Voir aussi</h2></div>

<ul><li><a href="Appartenance_(math%C3%A9matiques)" title="Appartenance (mathématiques)">Appartenance</a></li>

<li><a href="Relation_binaire" title="Relation binaire">Relation binaire</a></li>

<li><a href="Ensemble_puissance" class="mw-redirect" title="Ensemble puissance">Ensemble puissance</a></li>

<li><a href="Op%C3%A9rations_sur_les_ensembles" class="mw-redirect" title="Opérations sur les ensembles">Opérations sur les ensembles</a></li>

<li><a href="Produit_cart%C3%A9sien" title="Produit cartésien">Produit cartésien</a></li>

<li><a href="Injection_canonique" title="Injection canonique">Injection canonique</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Notes">Notes</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> Hans Freudenthal, « Notation mathématique », Dictionnaire des mathématiques – fondements, probabilités, applications, Encyclopædia Universalis et Albin Michel, Paris 1998.

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://probabilitylectures.narod.ru/mathematical_analysis_special_parts/ISO_31-11.pdf">Référence ISO 31-11</a>.

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> L'<a href="Ensemble_vide" title="Ensemble vide">ensemble vide</a> et B sont les deux « sous-ensembles triviaux » de B.

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="Paul_Halmos" title="Paul Halmos">Paul Halmos</a>, « <cite style="font-style:normal" lang="en">How to Write Mathematics</cite> », <a href="L'Enseignement_math%C3%A9matique" title="L'Enseignement mathématique">L'Enseignement mathématique</a>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 16,‎ <time>1970</time>, <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 144 (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.di.ens.fr/~bouillar/Stages/Halmos-How-To-Write.pdf">lire en ligne</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=How+to+Write+Mathematics&rft.jtitle=L%27Enseignement+math%C3%A9matique&rft.aulast=Halmos&rft.aufirst=Paul&rft.date=1970&rft.volume=16&rft.pages=144&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AInclusion+%28math%C3%A9matiques%29">

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> <a href="George_Boolos" title="George Boolos">George Boolos</a> (4 février 1992). 24.243 Classical Set Theory (lecture). (Speech). Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, MA.

</li>

<li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <abbr class="abbr indicateur-format format-pdf" title="Document au format Portable Document Format (PDF)">[PDF]</abbr> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://probabilitylectures.narod.ru/mathematical_analysis_special_parts/ISO_31-11.pdf">ISO 31-11</a>.

</li>

<li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> De même que ≤, ⊆ est une <a href="Relation_d'ordre" title="Relation d'ordre">relation d'ordre</a>. Il est donc naturel que <, ⊂ désignent les « versions strictes » de ces relations.

</li>

<li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">↑</a> <a href="Paul_Halmos" title="Paul Halmos">Paul Halmos</a>, <cite class="italique">Introduction à la théorie des ensembles</cite> [détail des éditions]<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Introduction+%C3%A0+la+th%C3%A9orie+des+ensembles&rft.aulast=Halmos&rft.aufirst=Paul&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AInclusion+%28math%C3%A9matiques%29">, <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 3 dans l'édition de 1974.

</li>

<li id="cite_note-9"><a href="#cite_ref-9">↑</a> <a href="Saunders_Mac_Lane" title="Saunders Mac Lane">Saunders Mac Lane</a>, <a href="Garrett_Birkhoff" title="Garrett Birkhoff">Garrett Birkhoff</a>, Jean Weil et Impr. de la Manutention), <cite class="italique">Algèbre et solutions développées des exercices : structures fondamentales, les grands théorèmes, théorie de Galois</cite>, J. Gabay, <time>1996</time> (<a href="International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> 2-87647-138-8 et 978-2-87647-138-2, <a href="Online_Computer_Library_Center" title="Online Computer Library Center">OCLC</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://worldcat.org/fr/title/490130463">490130463</a>), <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 3<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Alg%C3%A8bre+et+solutions+d%C3%A9velopp%C3%A9es+des+exercices+%3A+structures+fondamentales%2C+les+grands+th%C3%A9or%C3%A8mes%2C+th%C3%A9orie+de+Galois&rft.pub=J.+Gabay&rft.au=Saunders+Mac+Lane&rft.au=Weil%2C+Jean&rft.au=Impr.+de+la+Manutention%29&rft.date=1996&rft.pages=3&rft.isbn=2-87647-138-8&rft_id=info%3Aoclcnum%2F490130463&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AInclusion+%28math%C3%A9matiques%29">

</li>

<li id="cite_note-Andrews-10"><a href="#cite_ref-Andrews_10-0">↑</a> Peter Bruce Andrews, <cite class="italique">An introduction to mathematical logic and type theory: to truth through proof</cite>, Academic Press, <time>1986</time><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=An+introduction+to+mathematical+logic+and+type+theory%3A+to+truth+through+proof&rft.pub=Academic+Press&rft.aulast=Andrews&rft.aufirst=Peter+Bruce&rft.date=1986&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AInclusion+%28math%C3%A9matiques%29">

</li>

</ol></div>

<ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail"><li> Portail des mathématiques </li> </ul></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>